2014

Luglio 2014 - Problema 5

Sia \(\varphi\) la funzione totient di Eulero, ossia quella funzione definita sui numeri naturali positivi per cui:
\[ \varphi(n) = |\{ m\in[1,n]: \gcd(m,n)=1\}|.\]
Si provi che per ogni numero naturale \(n\geq 2\), la somma:
\[ S_n = \sum_{k=1}^{n}\frac{\varphi(k)}{k}\cdot\log\frac{2^k}{2^k-1}\]
appartiene all'intervallo:
\[ I_n = \left(1-\frac{1}{2^n},1\right).\]

Nota: con \(\log x\) si intende il logaritmo naturale di \(x\), ossia l'unica soluzione \(y\in\mathbb{R}\) di \(e^y=x\) con \(x>0\).

Livello di difficoltà: Yak da traino
Punteggio difficoltà: 70



Gottinger e Cam hanno provato che la disuguaglianza segue dalla combinazione della serie di Taylor di \(\log(1+x)\) con alcune note identità riguardanti la funzione \(\varphi\) di Eulero.
Potete consultare tramite questo link la soluzione di Gottinger.