2014

Luglio 2014 - Problema 6

Si dimostri che per ogni numero naturale \(N\geq 1\) la somma
\[ S_N = \sum_{k=1}^{N}\sqrt{k} \]
appartiene all'intervallo
\[ I_N = \left(\frac{2N}{3}\sqrt{N},\frac{4N+3}{6}\sqrt{N}\right).\]

Livello di difficoltà: Tigrotto da passeggio
Punteggio difficoltà: 40



Problema, anche questo, che ha riscosso un discreto successo. Sono possibili essenzialmente tre approcci: il primo, completamente induttivo, è ben rappresentato dalla soluzione di Triarii.
Il secondo consiste nell'osservazione che la nostra somma è una somma di Riemann per una funzione concava, per cui il metodo dei rettangoli e quello dei trapezi forniscono le opportune approssimazioni.
Il terzo, rappresentato dalla soluzione di Cam, è l'applicazione della formula di sommazione parziale.