2014

7mbre 2014 - Problema 1

Su un'asticella lunga un metro vengono effettuati \(N\) segni con un pennarello; ogni segno è effettuato in un punto causale (da intendersi: rispetto a una ripartizione di probabilità uniforme) dell'asticella. Successivamente l'asticella viene spezzata in corrispondenza di ogni segno. Qual è, in funzione di \(N\), la lunghezza media del più corto segmento ottenuto?



Hint: riuscite a mettere in relazione la quantità richiesta da calcolare con il volume di un certo simplesso?
Hint2: la proiezione ortogonale di una distribuzione uniforme su un triangolo è ancora una distribuzione uniforme su un triangolo.



Livello di difficoltà: Tigrotto da passeggio
Punteggio difficoltà: 40



Possiamo parametrizzare uno "spezzettamento" dell'asticella con la scelta di un punto dell'insieme \(\left\{(x_1,\ldots,x_{N+1})\in\mathbb{R}^{N+1}:x_i\geq 0,x_1+\ldots+x_{N+1}=1\right\}\).
Abbiamo allora \(\mathbb{E}[\min x_i] = \int_{0}^{1}\mathbb{P}[\min x_i \geq t]\,dt\), dove la probabilità è quella che tutte le variabili in gioco siano \(\geq t\). Il punto è dunque trovare
un'argomentazione geometrica che giustifichi il fatto che quest'ultima probabilità è \(\left(1-(N+1)t\right)^N \) per \(0\leq t\leq\frac{1}{N+1}\), e zero altrimenti.

A conti fatti, il valore atteso che cercavamo risulta pari a \(\frac{1}{(N+1)^2}.\)