2014

Novembre 2014 - Problema 1

Si provi che se \(x,y,z\) sono tre numeri reali a somma nulla, vale l'identità:
\[\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\cdot\frac{x^5+y^5+z^5}{5}=\frac{x^7+y^7+z^7}{7}.\]



Livello di difficoltà: Fido segugio
Punteggio difficoltà: 20



Identità piuttosto sorprendente, non trovate? Una strategia risolutiva è quella di avvalersi del Teorema di Viète. Se supponiamo che \(x,y,z\) siano le radici di un polinomio monico di terzo grado \(p(t)\), abbiamo:
\[ p(t) = t^3 - At - B.\]
Dall'identità \(x^2+y^2+z^2 = (x+y+z)^2-2(xy+xz+yz)\) segue allora \(x^2+y^2+z^2 = 2A\). Inoltre, se \(t\) appartiene all'insieme delle radici di \(p(t)\), si ha:
\[ t^5 = t^2\cdot t^3 = t^2(At+B) = At^3 + Bt^2 = Bt^2 + A^2 t + AB, \]
dunque:
\[ x^5+y^5+z^5 = B(x^2+y^2+z^2) + A^2(x+y+z) + 3AB = 5AB, \]
mentre da:
\[ t^7 = t\cdot(t^3)^2 = t\cdot(At+B)^2 = A^2 t^3 + 2AB t^2 + B^2 t = 2AB t^2 + (B^2+A^3)t + A^2 B \]
segue:
\[ x^7+y^7+z^7 = 2AB(x^2+y^2+z^2) + 3A^2 B = 7A^2 B. \]
E' allora immediato verificare che da:
\[\frac{x^2+y^2+z^2}{2}=A,\quad \frac{x^5+y^5+z^5}{5}=AB,\quad \frac{x^7+y^7+z^7}{7}=A^2 B\]
segue la tesi. In alternativa si può verificare che da \(x+y+z=0\) segue:
\[ \frac{x^2+y^2+z^2}{2} = \frac{x^2+y^2+(x+y)^2}{2} = x^2+xy+y^2, \]
mentre le identità:
\[ \frac{x^5+y^5-(x+y)^5}{5} = -\left(x^4 y + 2x^3 y^2 + 2x^2 y^3 + x y^4\right) = -(x+y)(x^2+xy+y^2) \]
e:
\[ \frac{x^7+y^7-(x+y)^7}{5} = -\left(x^6 y+3 x^5 y^2+5 x^4 y^3+5 x^3 y^4+3 x^2 y^5+x y^6\right) = -(x+y)(x^2+xy+y^2)^2 \]
permettono di pervenire ad analoghe conclusioni.